Разработка теории сравнений в группах
Научный руководитель: к.ф-м.н., профессор Павлюк И. И.
Цель проекта: изучить группы с условиями конечности, наложенными на индексы пересечения подгрупп (условие Пуанкаре); тем самым развить идеи общей теории групп, заложенные французским математиком А. Пуанкаре. Теорема Пуанкаре о конечности индекса пересечения конечного множества подгрупп конечного индекса в самой группе играет фундаментальную роль в теории бесконечных групп.
Актуальность, новизна и практическая значимость: в классической алгебре рассматриваются числовые сравнения, введенные в науку К. Ф. Гауссом. Теория числовых сравнений достаточно хорошо разработана и на сегодняшний день остается актуальной и имеет много приложений, как в математике, так и в современных компьютерных технологиях обработки информации. Эта теория применяется в криптографии и теории шифрования информации. В связи с этим изучение аналогов свойств числовых сравнений в теории групп является актуальным. Применение теории нечисловых сравнений к алгебраическим структурам – новое направление в алгебре.
Ожидаемые результаты: выделяются новые отношения эквивалентности: центральная; центральная сопряженность; централизаторная сопряженность. Вводятся понятия сравнений относительно эквивалентностей на элементах группы. Решения сравнений на классах эквивалентности приводят к новым понятиям ядра элемента по соответствующей эквивалентности. Понятие сравнимости позволит описать новые подгруппы группы – модуляторы элементов относительно соответствующей сравнимости. Изучение свойств модуляторов и их связи с базовыми понятиями теории групп позволяют вырабатывать модуляторный метод исследования конечных, периодических, локально-конечных и других тип групп.
Конкурентоспособность и коммерциализация проекта: исследования направлены на решение ряда проблем 4.24, 6.48, 5.1 а), 5.1 б) из Коуровской тетради (Нерешенные вопросы теории групп, Изд. НГУ, г. Новосибирск, 2002 г.), а также анализируются подступы к решению проблемы Бернсайда показателя пять.
OpenU
